Question

1．已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面是边长为4的正方形，AA₁=4，且AA₁⊥面ABCD，点P为DD₁的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD₁与面ABCD所成角的正切值为2．
（Ⅰ）证明：PQ∥面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥面PBC，并求三棱锥Q-PBB₁的体积．

Answer 1

分析 （I）取AA₁中点E，连接PE、BE，过D₁作D₁H⊥AD于H，可证四边形PQBE为平行四边形，得出PQ∥BE，故而PQ∥面A₁ABB₁；
（II）由AA₁⊥面ABCD可得AA₁⊥BC，由相似三角形可得AB₁⊥BE，故而AB₁⊥平面PEBC，求出B₁到平面PEBC的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：取AA₁中点E，连接PE、BE，过D₁作D₁H⊥AD于H．
∵AA₁⊥面ABCD，AA₁∥D₁H，∴D₁H⊥面ABCD．
∴∠D₁DA为DD₁与面ABCD所成角．
∴$\frac{A{A}_{1}}{DH}$=2，又AA₁=4，
∴DH=2．
∴A₁D₁=2．
∴PE=$\frac{1}{2}$（A₁D₁+AD）=3，
又EF∥AD，
∴四边形PQBE为平行四边形，
∴PQ∥BE，
又PQ?面A₁ABB₁，BE?面A₁ABB₁，
∴PQ∥面A₁ABB₁．
（Ⅱ）∵AA₁⊥面ABCD，BC?平面ABCD，
∴AA₁⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AA₁=A，
∴BC⊥面ABB₁A₁，又AB₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB₁．
在梯形A₁ABB₁中，Rt△BAE≌Rt△AA₁B₁，
∴∠B₁AE+∠AEB=∠B₁AE+∠AB₁A₁=90°，
∴AB₁⊥BE，
又BE∩BC=B，BE?平面PEBC，BC?平面PEBC，
∴AB₁⊥面PEBC．
设AB₁∩BE=M，∵AE=2，AB=4，∴BM=2$\sqrt{5}$，
∵A₁B₁=2，AA₁=4，∴AB₁=2$\sqrt{5}$，
∴AM=$\frac{AE•AB}{BE}=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴B₁M=AB₁-AM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
又BQ=$\frac{3}{4}$BC=3，
∴V${\;}_{Q-PB{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-PBQ}$=$\frac{1}{3}{S}_{△PBQ}•{B}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2\sqrt{5}×\frac{6\sqrt{5}}{5}$=6．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．