Question

若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则

f(x)+f(-x)

2x

＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．

解答： 解：由题意画出符合条件的函数图象：
∵函数y=f（x）为偶函数，
∴

f(x)+f(-x)

2x

＜0转化为：

f(x)

x

＜0，
即xf（x）＜0，由图得，
当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3；
当x＜0时，f（x）＞0，则-3＜x＜0；
综上得，

f(x)+f(-x)

2x

的解集是：（-3，0）∪（3，+∞），
故答案为：（-3，0）∪（3，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．