Question

已知函数f（x）=xlnx+x²，且x₀是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：
①0＜x₀＜

1

e

；
②x₀＞

1

e

；
③f（x₀）+x₀＜0；
④f（x₀）+x₀＞0
其中正确的命题是

 

．（填出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+x₀²+x₀=x₀（lnx₀+x₀+1）=-x₀＜0，可判断③④．

解答： 解：∵函数f（x）=xlnx+x²，（x＞0）
∴f′（x）=lnx+1+2x，
∴f′（

1

e

）=

2

e

＞0，
∵x→0，f′（x）→-∞，
∴0＜x₀＜

1

e

，即①正确，②不正确；
∵lnx₀+1+2x₀=0
∴f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+x₀²+x₀=x₀（lnx₀+x₀+1）=-x₀＜0，即③正确，④不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，比较基础．