Question

15．数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{b_n}满足b_n=1+a₁+a₂+…+a_n（n=1，2，…），数列{c_n}满足c_n=2+b₁+b₂+…+b_n（n=1，2，…）．若{c_n}为等比数列，则a+q=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 由题意求得数列{b_n}的通项公式，代入即可求得数列{c_n}的通项公式，根据等比数列通项公式的性质，即可求得a和q的值，求得a+q的值．

解答 解：数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列，a_n=aq^n-1，
则b_n=1+a₁+a₂+…+a_n=1+$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$=1+$\frac{a}{1-q}$-$\frac{a{q}^{n}}{1-q}$，
则c_n=2+b₁+b₂+…+b_n=2+（1+$\frac{a}{1-q}$）n-$\frac{a}{1-q}$×$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2-$\frac{aq}{（1-q）^{2}}$+$\frac{1-q+a}{1-q}$n+$\frac{a{q}^{n+1}}{（1-q）^{2}}$，
要使{c_n}为等比数列，则$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{aq}{（1-q）^{2}}=0}\\{\frac{1-q+a}{1-q}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴a+q=3，
故选B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．