Question

4．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）是增函数，且f（2）=0，则满足f（x-1）＜0的x的范围是（-∞，-1）∪（1，3）．

Answer 1

分析 因为本题函数f（x）是抽象型的函数，所以要求f（x-1）＜0的解集，必须利用函数的单调性，结合已知奇函数的性质得到答案．

解答 解：∵f（x-1）＜0，f（2）=0，
∴f（x-1）＜f（2），
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴0＜x-1＜2，
∴1＜x＜3；
∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）也是增函数，f（-2）=-f（2）=0，
∴f（x-1）＜0等价于f（x-1）＜f（-2），
∴x-1＜-2，
∴x＜-1；
综上不等式f（x-1）＜0的解集为{x|x＜-1或1＜x＜3}
故答案为：（-∞，-1）∪（1，3）．

点评 本题考查了奇函数的定义以及性质的运用；奇函数对称区间的单调性相同；对于抽象型不等式求解集，一般利用函数的单调性解．