Question

定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，

f(x)＝－ (a∈R)．

(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；

(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

【解析】【解析】
(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，

f(－x)＝－＝4x－a·2x，

∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．

令t＝2x，t∈[1,2]，

∴g(t)＝a·t－t2＝－(t－)2＋，

当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；

当1<<2，即2<a<4时，g(t)max＝g()＝；

当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.

综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；

当2<a<4时，f(x)的最大值为；

当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.

(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，

∴f′(x)＝aln2×2x－ln4×4x＝2xln2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，

∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4.

故a的取值范围是[4，＋∞)．