Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，$\overrightarrow{ON}$=λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM}$），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意离心率可得a=2b，设出AB所在直线方程，由圆心到直线的距离求得b，则椭圆方程可求；
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），由已知向量等式得点N的坐标为（λx₀，λ（y₀+1）），结合N在圆上，M在椭圆上，分离参数λ求解．

解答 解：（1）由$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴a=2b，
∴直线AB的方程为$\frac{x}{2b}+\frac{y}{b}=1$，即x+2y-2b=0，
圆心O（0，0）到直线AB的距离为d=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2b}{\sqrt{5}}$，得b=1，
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），则点N的坐标为（λx₀，λ（y₀+1）），
∴${λ}^{2}[{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}+1）^{2}]=1$，得${λ}^{2}=\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+2{y}_{0}+1}$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴${λ}^{2}=\frac{1}{-3{{y}_{0}}^{2}+2{y}_{0}+5}$，y₀∈（-1，1），得${λ}^{2}≥\frac{3}{16}$，
∴正实数λ的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{4}，+∞$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．