Question

11．已知函数f（x）=（x-a）²+（e^x-a）²（a∈R），若存在x₀∈R，使得f（x₀）≤$\frac{1}{2}$成立，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 把函数看作是动点M（x，e^x）与动点N（a，a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=e^x上与直线y=x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{1}{2}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．

解答 解：函数f（x）可以看作是动点M（x，e^x）与动点N（a，a）之间距离的平方，
动点M在函数y=e^x的图象上，N在直线y=x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=e^x得，y′=e^x=1，解得x=0，
∴曲线上点M（0，1）到直线y=x的距离最小，最小距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则f（x）≥$\frac{1}{2}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{2}$，则f（x₀）=$\frac{1}{2}$，此时N恰好为垂足，
由k_MN=$\frac{a-1}{a}$=-1，解得a=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．