Question

已知函数f（x）=ax²+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=

2

3

时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（II）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若关于x的方程f’（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2试问：是否存在正整数n₀，使得|f′(n0)|≤

3

4

？说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，利用导数在切点处的值为切线斜率及导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b．
（II）将a，b的值代入导函数，令导函数为0求出根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出最值；
（III）先将二次方程用α，β表示出f（x），利用二次方程的实根分布得到f'（1）＞0，f'（2）＞0，利用基本不等式求出f′（1）•f′（2）的范围，判断出f′（1），f′（2）的范围．

解答：解：f'（x）=3x²+2ax+b（2分）
（I）由题意，得

f′( 2 3 )=3( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解得：

a=2 b=-4

所以，f（x）=x³+2x²-4x+5（4分）
（II）由（I）知，f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=

2

3

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．（10分）
（III）∵f'（x）=3（x-α）（x-β），∴f'（1）＞0，f'（2）＞0
f'（1）?f'（2）=9（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=9（α-1）（β-1）（2-α）（2-β）=9（α-1）（2-α）（β-1）（2-β）
≤9[

(α-1)(2-α)

2

]2[

(β-1)(2-β)

2

]2=

9

16

∴0＜f“(1)≤

3

4

或0＜f′(2)≤

3

4

，所以存在n₁=1或2，使|f′(x0)| ≤

3

4

．

点评：本题考查导数在极值点处的值是0、考查导数在切点处的值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值的步骤、考查二次方程的实根分布、考查基本不等式．