Question

设数列{a_n}的首项a₁=6，其前n项和为S_n，且a_n+1=3Sn-2ⁿ⁺¹，n∈N^*
（1）设b_n=S_n-2ⁿ，证明{b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式
（2）求{

n

bn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，可得S_n+1-S_n=3Sn-2n+1，变形为Sn+1-2n+1=4(Sn-2n)，即可证明数列{b_n}为等比数列；
（2）

n

bn

=

n

4n

，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，
∴S_n+1-S_n=3Sn-2n+1，
化为Sn+1-2n+1=4(Sn-2n)，
∴b_n+1=4b_n，
又b₁=S₁-2=a₁-2=6-2=4，
∴{b_n}为等比数列，
∴b_n=4×4^n-1=4ⁿ．
（2）

n

bn

=

n

4n

，
∴{

n

bn

}的前n项和T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，
∴

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+…+

n-1

4n

+

n

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

(1-

1

4n

)-

n

4n+1

，
∴T_n=

4

9

-

1+3n

9×4n

．

点评：本题考查了“错位相减法”及其等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．