Question

随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，汽车等商品逐渐成为大众化消费．某种汽车，购车费是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年比上一年递增0.2万元．试问这种汽车使用多少年时，年平均费用最少？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，从而表示出汽车的年平均费用，由基本不等式可得．

解答： 解：由题意知维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，
可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，
∴汽车使用n年的总维修费用为0.2n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n（n+1）万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有y=

10+0.9n+0.1n(n+1)

n

=1+0.1n+

10

n

≥1+2

0.1n• 10 n

=3，
当且仅当0.1n=

10

n

，即n=10时取等号，
即当使用10年时年平均费用y最小．

点评：本题考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属中档题．