Question

数列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n项和为S_n，若S_n≥tn²对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出数列{a_n}的通项公式，利用对数运算法则能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）对n分奇数与偶数讨论，利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质即可得出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴a_n=(

1

4

)n．
∴b_n+2=3log 

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2．
（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ，b_n=3n-2，
当n为偶数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6（b₂+b₄+…+b_n）
=-6•

(4+3n-2)• n 2

2

=-

3

2

n（3n+2）≥tn²，
即t≤-

3

2

（3+

2

n

）对n取任意正偶数都成立．
∴t≤-6．
当n为奇数时，偶数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

（n-1）[3（n-1）+2]+（3n-2）（3n+1）
=

9

2

n2+3n-

7

2

＞0，
对t≤-6时，S_n≥tn²恒成立，
综上：t≤-6．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．