Question

函数y=x+

2

x-1

的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：求出原函数的定义域，把函数式变形为y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1，然后分类利用基本不等式求最值，最后求得函数的值域．

解答： 解：函数y=x+

2

x-1

的定义域为{x|x≠1}，
当x＞1时，y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1≥2

(x-1)• 2 x-1

+1=2

2

+1，
当且仅当x-1=

2

x-1

，即x=

2

+1时等号成立；
当x＜1时，y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1=-[（1-x）+

2

1-x

]+1≤-2

(1-x)• 2 1-x

+1=1-2

2

，
当且仅当1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

时上式等号成立．
∴函数y=x+

2

x-1

的值域是(-∞，1-2

2

]∪[2

2

+1，+∞)．
故答案为：(-∞，1-2

2

]∪[2

2

+1，+∞)．

点评：本题考查了函数的值域的求法，考查了利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”，是中档题．