Question

若点P是函数f（x）=

3

2

x²-lnx上任意一点，则点P到直线2x-y-2=0的最小距离为（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  5

• C、

  3

  2

• D、

  3 5

  10

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：设P（x，

3

2

x2-lnx），点P到直线2x-y-2=0的距离d=

|-2x+ 3 2 x2-lnx+2|

5

，设g（x）=-2x+

3

2

x2-lnx+2，利用导导数性质求出[g（x）]_min，由此能求出点P到直线2x-y-2=0的最小距离．

解答： 解：设P（x，

3

2

x2-lnx），点P到直线2x-y-2=0的距离：
d=

|2x- 3 2 x2+lnx-2|

4+1

=

|-2x+ 3 2 x2-lnx+2|

5

，
设g（x）=-2x+

3

2

x2-lnx+2，
g′（x）=-2+3x-

1

x

=

(3x+1)(x-1)

x

，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以[g（x）]_min=g（1）=

3

2

，
d_min=

g(1)

5

=

3 5

10

．
故选：D．

点评：本题考查点到直线的最小距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和导数性质的合理运用．