Question

14．已知f（x）=lg$\frac{2x}{a+bx}$，f（1）=0且当x＞0时，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx，求常数a，b的值．

Answer 1

分析 先由f（1）=0可以得到a+b=2，而根据$f（x）-f（\frac{1}{x}）=lgx$可以得到$lg\frac{x（ax+b）}{a+bx}=lgx$，从而有$\frac{x（ax+b）}{a+bx}=x$，这样便得到ax+b=a+bx，从而有a=b，带入a+b=2即可求出a，b的值．

解答 解：f（1）=0；
∴$lg\frac{2}{a+b}=0$；
∴a+b=2；
由$f（x）-f（\frac{1}{x}）=lgx$得，$lg\frac{2x}{a+bx}-lg\frac{\frac{2}{x}}{a+\frac{b}{x}}=lg\frac{2x}{a+bx}-lg\frac{2}{ax+b}$=$lg\frac{x（ax+b）}{a+bx}=lgx$；
∴$\frac{x（ax+b）}{a+bx}=x$；
∵x＞0；
∴$\frac{ax+b}{a+bx}=1$；
∴ax+b=a+bx恒成立；
∴a=b；
∴a+b=2a=2；
∴a=1，b=1．

点评 考查已知函数求值，已知f（x）求f[g（x）]的方法，1的对数为0，以及对数的运算，对数函数的单调性，对于单调函数f（x），可由f（x₁）=f（x₂）得到x₁=x₂，以及多项式相等时，对应项系数相等．