Question

在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°．
（1）证明△A₁BC为等边三角形；
（2）求棱柱的高．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠A₁BC是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角或所成角的补角，由此能证明△A₁BC为等边三角形．
（2）由（1）知△A₁BC为等边三角形，在Rt△A₁AB中，由

1-AA12

•A1B=

2

，能求出棱柱的高为1．

解答： （1）证明：由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
得AA₁是三棱柱的高，
∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角或所成角的补角，
连结A₁C，
∵AB=AC，∴A₁B=A₁C=

1+AA12

，
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，得BC=

2

，
又异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，∴∠A₁BC=60°，
∴△A₁BC为等边三角形．
（2）解：由（1）知△A₁BC为等边三角形，
A1B•B1C1=

2

，
∴在Rt△A₁AB中，
由

1-AA12

•A1B=

2

，
解得AA₁=1，棱柱的高为1．

点评：本题考查等边三角形的证明，考查棱柱的高的注法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．