Question

已知函数f（x）是奇函数，存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

．
（1）求f（2a）；
（2）若f（x）有意义，证明：存在常数t＞0，使f（x+t）=f（x）；
（3）若x∈（0，2a），则f（x）＞0成立，求证：当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=2a，x₂=a，带入f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

，并根据f（a）=1可求出f（2a）=0；
（2）根据已知条件及f（2a）=0，f（x+2a）=-

1

f(x)

，所以可求出f（x+4a）=f（x），所以便找到了t=4a；
（3）根据单调性的定义任设x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，再根据条件：f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

即可比较f（x₁），f（x₂）的大小关系，从而证明出函数f（x）在（0，2a）上是减函数．

解答： 解：（1）令x₁=2a，x₂=a得：f（a）=

f(2a)f(a)+1

f(a)-f(2a)

；
∵f（a）=1，∴1=

f(2a)+1

1-f(2a)

，解得f（2a）=0；
（2）证明：f（x+2a）=f[x-（-2a）]=

f(x)f(-2a)+1

f(-2a)-f(x)

；
∵f（x）是奇函数，f（2a）=0；
∴f（-2a）=-f（2a）=0；
∴f（x+2a）=-

1

f(x)

；
∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-

1

f(x+2a)

=f(x)；
∴存在常数4a＞0，使f（x+4a）=f（x）；
（3）设x₁，x₂∈（0，2a），且x₁＞x₂，则：
f（x₂）-f（x₁）=

f(x1)f(x2)

f(x1-x2)

，x₁-x₂∈（0，2a）；
∴根据x∈（0，2a）时，f（x）＞0得：f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₁）＜f（x₂）；
∴当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．

点评：考查奇函数的定义，根据函数单调性的定义证明函数的单调性的方法．