Question

10．在△ABC中，已知AB=3，BC=2，D在AB上，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=3，则AC的长是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DC}$，根据$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=3列方程计算出cosB，再使用余弦定理计算AC．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{DB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$=-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$•（-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{BA}}^{2}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=3，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，
∴3×2×cosB=$\frac{3}{2}$，∴cosB=$\frac{1}{4}$．
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=10．
∴AC=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，余弦定理，属于中档题．