Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=θ（θ是锐角），底面ABCD是菱形，设

CD

=a，

CB

=b，

CC1

=c．
（Ⅰ）试用基底{a，b，c}表示向量

CA1

、

BD

和

C1D

，并证明CA₁⊥BD；
（Ⅱ）若CA₁⊥平面C₁BD，求证：CC₁=CD．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．根据垂直的条件，其数量积等于0，即可证明
（Ⅱ）根据向量垂直，其数量积等于0，再根据数量积的公式，即可证明CC₁=CD．

解答： 解：（I）

CA1

=a+b+c，

BD

=a-b，

C1D

=a-c
依题意，|a|=|b|，
于是

CA1

•

BD

=(a+b+c)•(a-b)=a2-b2+a•c-b•c=|a||c|cosθ-|b||c|cosθ=0，
∴CA₁⊥BD；
（II）∵CA₁⊥平面C₁BD，
∴CA₁⊥BD，
即

C1A

•

C1D

=0，
∵

C1A

•

C1D

=a2-c2+a•b-c•b=|a|2-|c|2+|a||b|cosθ-|c||b|cosθ=（|a|-|c|）（|a|+|c|+|b|cosθ），
∵|a|+|c|+|b|cosθ＞0，
∴|a|=|c|，
即CC₁=CD．

点评：本题考查向量的基底表示和向量垂直的判定和性质，关键把向量表示成模长和夹角的向量的形式的运算，属于基础题