Question

13．求下列函数的值域．
（1）y=10${\;}^{\frac{1}{|x|+x}}$；
（2）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$．

Answer 1

分析 （1）由于|x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$，且|x|+x在分母上，可得x＞0，利用指数函数的单调性即可得出函数的值域．
（2）$\frac{2x}{x+1}-1$≥0，化为：$\frac{x-1}{x+1}$≥0，可得函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的定义域为（-1，1]，变形$\frac{2x}{x+1}-1$=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$∈[0，+∞），即可得出函数的值域．

解答 解：（1）由于|x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$，且|x|+x在分母上，因此x＞0，∴$\frac{1}{|x|+x}$=$\frac{1}{2x}$＞0，∴y=10${\;}^{\frac{1}{|x|+x}}$＞1，因此函数的值域为（1，+∞）．
（2）$\frac{2x}{x+1}-1$≥0，化为：$\frac{x-1}{x+1}$≥0，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x+1）≥0}\\{x+1≠0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x≤1．
∴函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的定义域为（-1，1]，
由$\frac{2x}{x+1}-1$=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$∈[0，+∞）．
∴函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的值域为：（0，1]．

点评 本题考查了函数的定义域与值域、指数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．