Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞2}\end{array}\right.$．
（1）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x+1）＞3．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质，即可求出当x∈[-1，2]时，函数f（x）的值域，
（2）不等式f（x+1）＞3等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2}\\{{x}^{2}-1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞2}\\{lo{g}_{2}x＞3}\end{array}\right.$解得即可．

解答 解：（1）当x∈[-1，2]时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
函数f（x）在[-1，1]上递减，在[1，2]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=-1，f（x）_max=f（-1）=3，
∴当x∈[-1，2]时，函数f（x）的值域为[-1，3]，
（2）不等式f（x+1）＞3等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2}\\{{x}^{2}-1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞2}\\{lo{g}_{2}x＞3}\end{array}\right.$
解得x≤-2，或x≥8，
故不等式的解集为（-∞，-2）∪（8，+∞）

点评 本题考查了分段函数的问题，以及二次函数和对数函数的性质，和不等式的解法，属于中档题．