Question

若曲线y=sinx，x∈（-π，π）在点P处的切线平行于曲线y=

x

（

x

3

+1）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为（　　）

• A、

  3

  4

• B、1
• C、

  4

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出P和Q点的坐标，分别求出两个函数的导函数，利用余弦函数的值域及不等式求最值得到两个导函数的取值范围，再由函数y=sinx（x∈（-π，π））图象在点P处的切线与函数y=

x

（

x

3

+1）在点Q处的切线平行得到P，Q点的横坐标，代入原函数求得P，Q的纵坐标，由两点求斜率得答案．

解答： 解：设P（a，b），Q（m，n），
由y=sinx，得y′=cosx，
∵x∈（-π，π），
∴-1＜y′≤1．
由y=

x

（

x

3

+1），得y′=

1

2

(

x

+

1

x

)≥1．
∵函数y=sinx（x∈（-π，π））图象在点P处的切线与函数y=

x

（

x

3

+1）在点Q处的切线平行，
∴cosa=

1

2

(

m

+

1

m

)=1．
∵a∈（-π，π），m＞0，
∴a=0，m=1，
∴b=sin0=0，n=

m

(

m

3

+1)=

4

3

．
∴直线PQ的斜率为：

4 3 -0

1-0

=

4

3

．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．