Question

9．已知f（x）=ln x，g（x）=x²-2ax+4a-1，其中a为实常数．
（1）若函数f[g（x）]在区间[1，3]上为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数g[f（x）]在区间[1，e³]上的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=ln x为增函数，当x∈[1，3]时，g（x）为单调函数，①若g（x）在[1，3]上为增函数，②若g（x）在[1，3]上为减函数，求解a的取值范围．
（2）化简g[f（x）]=ln²x-2aln x+4a-1．令t=ln x，h（t）=t²-2at+4a-1=（t-a）²-a²+4a-1．当x∈[1，e³]时，t∈[0，3]，通过①若a＜0，②若0≤a≤3，③若a＞3，利用核对的最小值，转化求解a即可．

解答 解：（1）因为f（x）=lnx为增函数，则当x∈[1，3]时，g（x）为单调函数，且g（x）＞0．（1分）
①若g（x）在[1，3]上为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ g（1）=2a＞0\end{array}$，得0＜a≤1．（3分）
②若g（x）在[1，3]上为减函数，则$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ g（3）=8-2a＞0\end{array}$，得3≤a＜4．（5分）
综上，a的取值范围是（0，1]∪[3，4）．（6分）
（2）由已知，g[f（x）]=ln²x-2aln x+4a-1．
令t=ln x，h（t）=t²-2at+4a-1=（t-a）²-a²+4a-1．当x∈[1，e³]时，t∈[0，3]．（8分）
①若a＜0，则h（t）在[0，3]上为增函数，h（t）_min=h（0）=4a-1．
令4a-1=-2，得a=-$\frac{1}{4}$．（9分）
②若0≤a≤3，则h（t）_min=h（a）=-a²+4a-1．
令-a²+4a-1=-2，则a²-4a-1=0，解得a=2±$\sqrt{5}$∉[0，3]，不合要求．（10分）
③若a＞3，则h（t）在[0，3]上为减函数，h（t）_min=h（3）=8-2a．
令8-2a=-2，得a=5．（11分）
综上，a=-$\frac{1}{4}$或a=5．（12分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的最值的求法．换元法的应用，考查分析问题解决问题的能力．