Question

9．设集合A={（x，y）|x²+y²≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（　　）

• A． 1+π
• B． 2
• C． 2+π
• D． π

Answer 1

分析 根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．

解答 解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x²+y²≤x+y，即（x-$\frac{1}{2}$）x²+（y-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x≥0，y＜0，则不等式等价为x²+y²≤x-y，即（x-$\frac{1}{2}$）x²+（y+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x≤0，y≤0，则不等式等价为x²+y²≤-x-y，即（x+$\frac{1}{2}$）x²+（y+$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
若x＜0，y≥0，则不等式等价为x²+y²≤-x+y，即（x+$\frac{1}{2}$）x²+（y-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{1}{2}$，
则对应的区域如图：
在第一象限内圆心坐标为C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则三角形OAC的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{4}$圆的面积为$\frac{1}{4}$×$π×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1•}{8}$π，
则一个弓弧的面积S=$\frac{1•}{8}$π-$\frac{1}{4}$，
则在第一象限的面积S=π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-2×（$\frac{1•}{8}$π-$\frac{1}{4}$）=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
则整个区域的面积S=4×（$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$）=2+π，
故选：C

点评 本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．