Question

18．如图所示的四面体OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点．
（1）试用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OS}$；
（2）求异面直线CM和BN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，利用向量加法法则和四面体的性质能用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OS}$．
（2）先求出$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，由此利用向量法能求出异面直线CM和BN所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵四面体OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，
点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点，
∴$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}）\\=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}（\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}）\end{array}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
（2）$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，
$|\overrightarrow{CM}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
$|\overrightarrow{BN}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BN}$=$（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）=-\frac{1}{4}{a^2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{BN}＞=\frac{{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BN}}}{{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{BN}|}}=\frac{{-\frac{1}{4}{a^2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∵异面直线CM和BN所成角的范围为$（0，\frac{π}{2}]$，
∴异面直线CM和BN所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查向量的表示，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．