Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），均有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，e为自然对数的底，则（　　）

• A． f（$-\frac{π}{2}$）＜f（$\sqrt{2}$）＜f（e）
• B． f（e）＜f（$-\frac{π}{2}$）＜f（$\sqrt{2}$）
• C． f（e）＜f（$\sqrt{2}$）＜f（$-\frac{π}{2}$）
• D． f（$\sqrt{2}$）＜f（$-\frac{π}{2}$）＜f（e）

Answer 1

分析 根据条件及增函数的定义容易判断出f（x）在R上单调递增，从而比较$-\frac{π}{2}，\sqrt{2}，e$这三个数的大小便可得出对应的函数值的大小，从而找出正确选项．

解答 解：∵$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$；
∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂时，会得到f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上为增函数；
又$-\frac{π}{2}＜\sqrt{2}＜e$；
∴$f（-\frac{π}{2}）＜f（\sqrt{2}）＜f（e）$．
故选：A．

点评 考查增函数的定义，根据增函数的定义比较函数值大小的方法，清楚$-\frac{π}{2}，\sqrt{2}，e$这三个数的大小关系．