Question

5．下列函数中，值域为[1，+∞）的是（　　）

• A． y=2^x+1
• B． y=$\sqrt{x-1}$
• C． y=$\frac{1}{|x|}$+1
• D． y=x+$\sqrt{x-1}$

Answer 1

分析 前三项都可由解析式看出值域：y=2^x+1＞0，y=$\sqrt{x-1}≥0$，y=$\frac{1}{|x|}+1＞1$，从而判断出这三项不正确，对于D，先得到$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$，两个不等式相加便可得到$x+\sqrt{x-1}≥1$，这样便可得出该函数的值域，即得出D正确．

解答 解：A.2^x+1＞0，∴y=2^x+1的值域为（0，+∞），∴该选项错误；
B.$\sqrt{x-1}≥0$，∴$y=\sqrt{x-1}$的值域为[0，+∞），∴该选项错误；
C．|x|＞0；
∴$\frac{1}{|x|}＞0$；
∴$\frac{1}{|x|}+1＞1$；
∴$y=\frac{1}{|x|}+1$的值域为（1，+∞），∴该选项错误；
D．x-1≥0；
∴$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$；
∴$x+\sqrt{x-1}≥1$；
即y≥1；
∴$y=x+\sqrt{x-1}$的值域为[1，+∞），∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查函数值域的概念，指数函数的值域，以及反比例函数的值域，一次函数的值域，根据不等式的性质求值域的方法．