Question

17．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且A≠$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）化简$\frac{sin（\frac{3π}{2}+A）•cos（\frac{π}{2}-A）}{cos（B+C）•tan（π+A）}$；
（Ⅱ）若角A满足sinA+cosA=$\frac{1}{5}$．
（i） 试判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由；
（ii） 求tanA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形内角和以及诱导公式化简可得原式=cosA；
（Ⅱ）由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$和sin²A+cos²A=1，联立可解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，可得（i）△ABC是钝角三角形；（ii） tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$

解答 解：（Ⅰ）由题意化简可得：
$\frac{sin（\frac{3π}{2}+A）•cos（\frac{π}{2}-A）}{cos（B+C）•tan（π+A）}$
=$\frac{-cosA•sinA}{-cosA•tanA}$=cosA；
（Ⅱ）∵sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，又sin²A+cos²A=1，
结合sinA应为正数，联立可解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，
∴A为钝角，故可得（i）△ABC是钝角三角形；
（ii） tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数化简求值和同角三角函数基本关系，属基础题．