Question

20．已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线$l{\;}_1：θ=\frac{π}{3}$，$l{\;}_2：ρsinθ=4\sqrt{3}$分别与曲线C交于A，B两点（A不为极点），
（1）求A，B两点的极坐标方程；
（2）若O为极点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知先求出极点（0，θ）为该方程的解，分别联立方程组能求出A，B两点的极坐标方程．
（2）由已知得$∠AOB=\frac{π}{6}$，$OA=\frac{8}{3}$，$OB=8\sqrt{3}$，由此能求出△AOB的面积．

解答 解：（1）由 $\left\{\begin{array}{l}ρ{sin^2}θ=4cosθ\\ θ=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，得极点（0，θ）为该方程的解，但由于A不为极点
∴$\left\{\begin{array}{l}ρ=\frac{8}{3}\\ θ=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，∴$A（{\frac{8}{3}，\frac{π}{3}}）$，（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}ρ{sin^2}θ=4cosθ\\ ρsinθ=4\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}ρ=8\sqrt{3}\\ θ=\frac{π}{6}\end{array}\right.$，∴$B（{8\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$．（6分）
（2）由（1）得$A（{\frac{8}{3}，\frac{π}{3}}）$，$B（{8\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$
∴$∠AOB=\frac{π}{6}$，$OA=\frac{8}{3}$，$OB=8\sqrt{3}$，（8分）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|sin∠AOB$=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×8\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{16}{3}\sqrt{3}$．（10分）

点评 本题考查点的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．