Question

17．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求曲线C₁的普通方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，求M到曲线C的距离的最小值，并求出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入公式sin²α+cos²α=1可得C₁普通方程．
（2）曲线C是直线，其直角坐标方程为x+2y-10=0，点M的坐标可表示为（3cosα，2sinα），由点到直线距离公式可得M到直线的距离能求出最小值．

解答 解：（1）∵曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²a=1，
得曲线C₁的普通方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）曲线C的普通方程是：x+2y-10=0，
设点M（3cosα，2sinα），
由点到直线的距离公式得：$d=\frac{{\left|{3cosα+4sinα-10}\right|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}\left|{5cos（α-φ）-10}\right|$，
其中$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$，
∴α-φ=0时，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此时$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．