Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=kⁿ-1（k∈R），且{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的值是0．

Answer 1

分析 对k分类讨论，利用递推关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=kⁿ-1（k∈R），
∴a₁=S₁=k-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（kⁿ-1）-（k^n-1-1）=（k-1）k^n-1．
当k=0时，a₁=-1，a_n=0（n≥2），此时数列{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列；
当k=1时，a_n=0，此时数列{a_n}是等差数列，舍去；
k≠0，1时，a_n-a_n-1=（k-1）k^n-1-（k-1）k^n-2=（k-1）²•k^n-2，与n有关，不是常数，不可能为等差数列．
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（k-1）×{k}^{n}}{（k-1）×{k}^{n-1}}$=k，此时数列{a_n}是等比数列．
综上可得：k=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．