Question

15．（1）若函数f（x）=4x³-ax+3的单调递减区间是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则实数a的值是多少？
（2）若函数f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

Answer 1

分析 （1）求出导函数，令导函数小于0的解集为单调递减区间；得到-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是导函数的两个零点，代入求出a；
（2）求出函数的导函数，函数f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，所以f′（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]符号不变，分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=12x²-a，
∵f（x）=4x³-ax+3的单调递减区间是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是12x²-a=0的两个根，
所以a=3；
（2）由f（x）=4x³-ax+3，所以f′（x）=12x²-a，
因为函数f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，
所以以f′（x）=12x²-a在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上符号不变，
可得-a≥0或12×（$\frac{1}{2}$）2-a≤0恒成立，
解得a≤0或a≥3．

点评 本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，二次函数的简单性质的应用，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．