Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n-n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，当n≥2时，化简可得a_n-1=2（a_n-1-1），从而判断出{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列，从而求通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法化简b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，从而求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，2a₁=S₁-1，
解得，a₁=-1；
当n≥2时，2a_n=S_n-n，2a_n-1=S_n-1-（n-1），
两式作差可得，
2a_n-2a_n-1=a_n-1，
即a_n-1=2（a_n-1-1），
故{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列，
故a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故a_n=1-2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-1+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-1=$\frac{2-{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的判断及分类讨论的思想应用，同时考查了构造法与裂项求和法的应用．