Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且km=-

1

a2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈[2，+∞），使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出A，B，M的坐标，把A，B坐标代入椭圆的方程相减整理求得直线AB的斜率的表达式，同时利用m和km的表达式，整理求得b．
（Ⅱ）设出C和直线的方程代入椭圆的方程，根据OACB是平行四边形，推断出

OC

=

OA

+

OB

进而求得x_c和y_c的表达式，把点C代入椭圆，表示出k²，进而利用a的范围求得k²的范围，进而求得k的范围，进而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则

x 2 1 a2 + y 2 1 b2 =1 x 2 2 a2 + y 2 2 b2 =1

，
两式相减，得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
又x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

2b2x0

2a2y0

=-

b2x0

a2y0

，③
又∵m=

y0

x0

，km=-

1

a2

∴-

b2

a2

=-

1

a2

，∴b=1
（Ⅱ）设C（x_C，y_C），直线AB的方程为y=k（x-c）（k≠0），
代入椭圆方程

x2

a2

+y2=1，
得（a²k²+1）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²=0
若OACB是平行四边形，则

OC

=

OA

+

OB

∴x_c=x₁+x₂=

2a2k2c

a2k2+1

，
y_c=y₁+y₂=k（x₁-c）+k（x₂-c）=k（x₁+x₂-2c）=

2kc

a2k2+1

∵C在椭圆上∴

x 2 c

a2

+

y

2 c

=1
∴

4a2k2c2

(a2k2+1)2

+

4a2c2

(a2k2+1)2

=1
∴4k²-c²（a²k²+1）=（a²k²+1）² ∴
4k²c²=a²k²+1∴k²=

1

4c2-a2

∵c²=a²-1，a∈[2，+∞]，∴k²=

1

3a2-4

∈(0，

1

8

)
∴-

2

4

≤k≤

2

4

且k≠0
∴当-

2

4

≤k≤

2

4

且k≠0时，存在a∈[2，+∞]，
使得四边形OACB是平行四边形；
当k＜-

2

4

或k＞

2

4

时，不存在a∈[2，+∞]，
使得四边形OACB是平行四边形．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类问题一般是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题．