Question

3．已知函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}$．
（1）若g（x）为f（x）的反函数，且g（mx²+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）g（mx²+2x+1）的定义域为R，可得mx²+2x+1＞0恒成立，即可求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，换元，利用配方法求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）．

解答 解：（1）令y=$（\frac{1}{3}）^{x}$，则x=$lo{g}_{\frac{1}{3}}y$，∴g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$，
∵g（mx²+2x+1）的定义域为R，
∴mx²+2x+1＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-4m＜0}\end{array}\right.$，∴m＞1；
（2）当x∈[-1，1]时，t=f（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$∈[$\frac{1}{3}$，3]．
y=t²-2at+3=（t-a）²-a²+3．
∴a$＜\frac{1}{3}$时，g（a）=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2}{3}$a+$\frac{28}{9}$．
$\frac{1}{3}≤a≤3$时，g（a）=-a²+3，
a＞3时，g（a）=g（3）=12-6a，
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}a+\frac{28}{9}，a＜\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a，a＞3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的定义域与最值，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．