如图,三棱柱ABC-AB
C
的侧面A
ACC
与底面ABC垂直,AB=BC=CA=4,且AA
⊥A
C,AA
=A
C.
(Ⅰ)证明:AC⊥BA;
(Ⅱ)求侧面AABB
与底面ABC所成二面角的余弦值.
(1)要证明线线垂直,通过线面垂直的性质定理来证明。
(2) 侧面AABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
解析试题分析:(Ⅰ)证明:取AC的中点O,连结OA,OB,BA
,则
, 2分
. 4分
∴AC⊥面BOA. 5分
∵BA面BOA
,∴AC⊥BA
. 6分
(Ⅱ)解法一:∵面AACC
⊥面ABC,A
O⊥AC,
∴AO⊥面ABC. 7分
过点O作OH⊥AB于H,连结AH,则A
H⊥AB,
∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分
在等边△ABC中,OH=,A
H=
. ∴cos∠A
HO=
=
. 11分
∴侧面AABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分
解法二:以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 7分
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A
(0,0,2),
C(0,4,2),设n=(x,y,z)是面A
ABB
的一个法向量,则n⊥
,n⊥
,
∵=(0,2,2),
=(2
,2,0), 8分
∴ 取x=1,得n=(1,-
,
). 9分
易知平面ABC的法向量为m=(0,0,1), 10分
所以cos<m,n>==
. 11分
∴ 侧面AABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分
考点:二面角的平面角,线线垂直
点评:主要是考查了关于垂直证明,以及二面角的平面角的求解,属于基础题。可以运用代数法也可以运用几何性质来求解和证明。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,是以
为直径的半圆上异于点
的点,矩形
所在的平面垂直于该半圆所在平面,且
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为
,
①求证://
;
②若,求三棱锥E-ADF的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求此几何体的体积V的大小;
(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQBQ并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图(1),在等腰直角三角形中,
,点
分别为线段
的中点,将
和
分别沿
折起,使二面角
和二面角
都成直二面角,如图(2)所示。
(1)求证:面
;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值;
(3)求点到平面
的距离。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,圆锥中,
为底面圆的两条直径 ,AB交CD于O,且
,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求圆锥的表面积;求圆锥
的体积。
(3)求异面直线与
所成角的正切值 .
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