Question

已知函数f（x）对任意的实数x₁，x₂，满足2f（x₁）•f（x₂）=f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）且f（0）≠0，则f（0）=

1

，此函数为

偶

函数（填奇偶性）．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的对应法则，取x₂=0代入化简可得2f（x₁）[f（0）-1]=0，结合2f（x₁）≠0即可得到f（0）=1．再令x₁=-x且x₂=x，代入化简可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1；同理得到f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1，因此f（-2x）=f（2x），根据函数奇偶性的定义可得函数为偶函数．

解答：解：取x₂=0，得2f（x₁）•f（0）=f（x₁）+f（x₁）
即2f（x₁）•f（0）=2f（x₁），可得2f（x₁）[f（0）-1]=0
∵x₁是任意的实数，可得2f（x₁）≠0
∴f（0）-1=0，解之得f（0）=1
∵x₁=x且x₂=-x，得2f（x）•f（-x）=f（0）+f（2x）
∴f（2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
再令x₁=-x且x₂=x，得2f（-x）•f（x）=f（0）+f（-2x）
可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
因此，f（-2x）=f（2x），用

x

2

代替x，可得f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数
故答案为：1，偶

点评：本题给出抽象函数，求f（0）之值并讨论函数的奇偶性，着重考查了函数奇偶性的定义和运用赋值法求函数值等知识点，属于基础题．