Question

7．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c恒成立，求实数c的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=f′（-1）=0，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）问题转化为|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，根据函数的单调性求出f（x）的最值，从而求出c的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f′（1）=f′（-1）=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
f_max（x）=f（-1）=2，
f_min（x）=f（1）=-2，
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4，
所以c≥4，
所以c的最小值为4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．