Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足4S_n=a_n²+2a_n．
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求证：

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

＜2，n∈N^*．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得a₁的值；
（2）由数列递推式可得数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（3）利用裂项相消法求出数列{

4

anan+1

}的前n项和后证得答案．

解答： （1）解：在4S_n=a_n²+2a_n中取n=1得：
4a1=a12+2a1，解得a₁=0（舍）或a₁=2；
（2）解：由4S_n=a_n²+2a_n，得4Sn-1=an-12+2an-1，
两式作差得：4an=an2-an-12+2an-2an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
则数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（3）证明：∵

4

anan+1

=

4

2n•2(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．