Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（1）角α的终边经过点（1，3），求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,任意角的三角函数的定义,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由角α的终边经过点（1，3），根据定义求出α的两弦值，代入可得f（α）的值；
（2）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解答： 解：（1）∵角α的终边经过点（1，3），
∴x=1，y=3，r=

10

，
∴sinα=

3 10

10

，cosα=

10

10

，
∴f（α）=

10

10

（

3 10

10

+

10

10

）-

1

2

=-

1

10

，
（2）∵f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

（sin2x+cos2x）
=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
∵ω=2，
故函数f（x）的最小正周期T=π，
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）得：
x∈[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，三角函数的定义，函数求值，难度不大，属于基础题．