Question

【题目】已知，函数.

（1）若函数在上单调递增，求a的取值范围；

（2）用反证法证明：函数不可能为上的单调函数.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）函数在上单调递增，说明，对于都成立，得到，令，则，转化求解即可；
（2）证明：假设为上单调函数，则为上单调递增函数或上单调递减函数，
①若函数为上单调递增函数，则，对于都成立，推出不可能为上的单调增函数，②若函数为上单调递减函数，则，对于都成立，推出不能为上的单调递减函数，说明函数不可能为上的单调函数.

（1）函数在上单调递增，

所以，对于都成立，

即，对于都成立，

故有，

令，则，

故在上单调递增，，

∴a的取值范围是；

（2）假设为R上单调函数，则为R上单调递增函数或R上单调递减函数，

①若函数为R上单调递增函数，则，对于都成立，

即恒成立.

由，对于都恒成立，

由的开口向上的抛物线，

则，不可能恒成立，

所以不可能为R上的单调增函数；

②若函数为R上单调递减函数，则，对于都成立，

即恒成立，

由，对于都恒成立，

故由，整理得：，显然不成立，

所以，不能为R上的单调递减函数，

综上，可知函数不可能为R上的单调函数.