Question

6．函数f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$+2）（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1）的值域是（　　）

• A． [2+$\sqrt{2}$，8]
• B． [2+$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [2+$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 容易得出f（x）的定义域为[-1，1]，并设$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t$，两边平方，根据x的范围即可求出$t∈[\sqrt{2}，2]$，且得出$\sqrt{1-{x}^{2}}+1=\frac{1}{2}{t}^{2}$，从而得出$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$，求导，根据导数在$[\sqrt{2}，2]$上的符号即可判断函数$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$在$[\sqrt{2}，2]$上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域．

解答 解：f（x）的定义域为[-1，1]；
设$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t$，则$2+2\sqrt{1-{x}^{2}}={t}^{2}$；
∵-1≤x≤1；
∴0≤1-x²≤1，$0≤\sqrt{1-{x}^{2}}≤1$；
∴2≤t²≤4；
∴$\sqrt{2}≤t≤2$，且$\sqrt{1-{x}^{2}}+1=\frac{1}{2}{t}^{2}$，设y=f（x）；
∴$y=\frac{1}{2}{t}^{2}（t+2）=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$；
∴$y′=\frac{3}{2}{t}^{2}+2t$，令y′=0得，$t=-\frac{4}{3}$，或0；
∴$y=\frac{1}{2}{t}^{3}+{t}^{2}$在$[\sqrt{2}，2]$上单调递增；
∴$t=\sqrt{2}$时，y取最小值$2+\sqrt{2}$，t=2时，y取最大值8；
∴$2+\sqrt{2}≤y≤8$；
∴原函数的值域为$[2+\sqrt{2}，8]$．
故选A．

点评 考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，结合二次函数的图象求二次函数的值域，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数最值的方法．