Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是BB₁，CC₁与AB的中点，
（1）求证：AE∥平面A₁DF；
（2）求证：A₁M⊥平面AED；
（3）正方体棱长为2，求三棱锥A₁-DEF的体积．

Answer 1

证明：（1）∵E，F分别是BB₁，CC₁的中点
∴EF∥BC，EF=BC
又∵AD∥BC，AD=BC
∴EF∥AD，EF=AD
∴四边形AEFD为平行四DF边形，
∴AE∥DF
∵AE?平面A₁DF，DF?平面A₁DF
∴AE∥平面A₁DF
（2）由正方体的几何特征可得AD⊥平面ABB₁A₁，
又∵A₁M?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥A₁M
在正方形ABB₁A₁中，E，M分别是BB₁与AB的中点，
∴△AA₁M≌△BAE
∴∠BAE=∠AA₁M
∵∠BAE+∠AA₁O=90°
∴AA₁M+AA₁O=90°
∴A₁M⊥AE
∵AD∩AE=A，AD，AE?平面AED
∴A₁M⊥平面AED；
（3）∵正方体棱长为2，
∴三棱锥A₁-DEF的体积
VA1-DEF=VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

•S△A1AE•AD=

1

3

•

1

2

•2•2•2=

4

3