Question

19．在四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD=120°，AD=DC=2CB=1，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．

Answer 1

分析 依题意，利用余弦定理可求得|AC|=$\sqrt{3}$，继而可得∠ACB=90°，|AB|cos∠CAB=|AC|，利用平面向量数量积的定义即可求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：在三角形ADC中，∠ADC=120°，AD=DC=1，
由余弦定理得：|AC|²=|AD|²+|CD|²-2|AD||CD|cos120°=1+1-2×（-$\frac{1}{2}$）=3，
故|AC|=$\sqrt{3}$，
又∠DAC=∠DCA=30°，∠BCD=120°，
所以，∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形，
所以，|AB|cos∠CAB=|AC|，
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|AB||AC|cos∠CAB=|AC|（|AB|cos∠CAB）=|AC|•|AC|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理的应用与平面向量数量积的定义，属于中档题．