Question

设函数f（x）=cos（

πx

4

-

π

3

）-cos

πx

4

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设g（x）=f（-2-x），当x∈[0，2]时，求函数y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的三角公式化简函数解析式为函数f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

），由此求得f（x）的最小正周期．
（2）先求得 g（x）=-cos（

πx

4

+

π

6

），根据x∈[0，2]，利用余弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=cos（

πx

4

-

π

3

）-cos

πx

4

=

1

2

cos

πx

4

+

3

2

sin

πx

4

-cos

πx

4

=sin（

πx

4

-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期为

2π

π 4

=8．
（2）∵g（x）=f（-2-x）=sin[

π

4

（-2-x）-

π

6

]=sin（-

πx

4

-

π

2

-

π

6

）=-sin（

πx

4

+

π

2

+

π

6

）=-cos（

πx

4

+

π

6

），
当x∈[0，2]时，

πx

4

+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，故当

πx

4

+

π

6

=

2π

3

时，函数y=g（x）的最大值为-（-

1

2

）=

1

2

．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式、余弦函数的定义域和值域，属于中档题．