Question

已知椭圆的离心率为,且过点,抛物线的焦点坐标为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，直线交椭圆于两点.

(i)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

(ii)当的面积取最大值时，求直线的方程.

 

Answer 1

解：(1)椭圆C₁：+ y²=1；C₂：x²=-2y ----4分

(2)(i)设点M(x₀,y₀),且满足2x₀-4y₀+3=0,点A(x₁,y₁) ,B(x₂ ,y₂), 对于抛物线y= - ,y¢ = - x , 则切线MA的斜率为-x₁ ,从而切线MA的方程为：y–y₁=-x₁(x-x₁),即：x₁x+y+y₁=0 ,同理：切线MB的方程为：x₂x+y+y₂=0 ，

又因为同时过M点，所以分别有：x₁x₀+y₀+y₁=0和x₂x₀+y₀+y₂=0，因此A，B同时在直线x₀x+y+y₀=0上，又因为：2x₀-4y₀+3=0，所以：AB方程可写成：y₀(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线AB过定点：(- ,- ).---------6分

(ii)直线AB的方程为：x₀x+y+y₀=0，代入椭圆方程中得：(1+4x₀²)x²+8x₀y₀x+4y₀²-4=0

令P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄) , D = 16(4x₀²- y₀²+1)>0,

x₃+x₄ = - ；x₃x₄ = 

|PQ| = ·= ·-------8分

点O到PQ的距离为：d=

从而S_DOPQ = ·|PQ|·d = ×·×

= 2×£ =1 ---------10分

当且仅当y₀² = 4x₀²- y₀²+1时等号成立,又2x₀-4y₀+3=0联立解得：x₀= ,y₀= 1或x₀= - ,y₀= ；

从而所求直线AB的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分