Question

各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂=3，a₄-2a₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）•log₃a_n+1，数列{

1

bn

}前n项和T_n．在（1）的条件下，证明不等式T_n＜1；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，在（1）的条件下，令cn=

nan-4

nan

，n∈N⁺，求数列{c_n}的“积异号数”

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,等比数列的通项公式,数列的求和

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算法则和“裂项求和”即可；
（3）利用新定义和数列的单调性即可得出．

解答： （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由

a4-2a3=9 a2=3

得

a2(q2-2q)=9 a2=3

，
解得q=3或q=-1，
∵数列{a_n}为正项数列，∴q=3．
∴首项a1=

a2

q

=1，
∴an=3n-1．
（2）证明：由（1）得bn=(n+1)•log3an+1=(n+1)log33n=n(n+1)
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
（3）解：由（1）得an=3n-1，
∴cn=

nan-4

nan

=1-

4

n•3n-1

，
∴c1=1-

4

1

=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

，
∴c₁•c₂=-1＜0，
∵cn+1-cn=1-

4

(n+1)•3n

-(1-

4

n•3n-1

)=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0
∴数列{c_n}是递增数列；
由c2=

1

3

＞0得，当n≥2时，c_n＞0．
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则和“裂项求和”、新定义和数列的单调性，属于难题．