Question

11．如图，已知三棱锥D-ABC的底面ABC为等边三角形，AB=CD=2，AD=BD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABD；
（Ⅱ）试求二面角A-CD-B的余弦值；
（Ⅲ）在CD上存在一点E，使二面角D-AB-E的大小为$\frac{π}{3}$，求$\frac{DE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明OD⊥平面ABC，即可，
（2）建立空间坐标系，求出平面ACD，和BCD的法向量，利用向量法进行求解，
（3）设出E的坐标，求出平面的法向量，根据二面角的夹角，建立方程即可得到结论．

解答 证明：（1）取AB的中点O，连接OC，OD，由已知AD=BD=$\sqrt{2}$，及AO=OB=1，
得CD⊥AB且OD=1，
同理，在等边三角形ABC中，OC⊥AB，且OC=$\sqrt{3}$，
在△OCD中，4=CD²=3+1=OC²+OD²，即OC⊥OD
∵AB∩OC=O，
∴OD⊥平面ABC，
∵OD?平面ABD，
∴平面ABC⊥平面ABD．
（2）建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则O（0，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，1），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-1，1），
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{BA}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=y+z=0），
令y=-$\sqrt{3}$，则z=$\sqrt{3}$，x=1，即平面ACD的法向量为，$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$x-y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-y+z=0，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=$\sqrt{3}$，即平面C₁BD的法向量为，$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
则$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-3+3}{\sqrt{3+3+1}•\sqrt{3+3+1}}$=$\frac{1}{7}$，
∵二面角A-CD-B是钝二面角，
∴二面角A-CD-B的余弦值是-$\frac{1}{7}$．
（3）设E（x，y，z），则$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CD}$，
得E（$\sqrt{3}$（1-λ），0，λ），
$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OE}$=（$\sqrt{3}$（1-λ），0，λ），
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{h}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OB}$=y=0，$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OE}$=$\sqrt{3}$（1-λ）x+λz=0，
令x=λ，则y=0，z=$\sqrt{3}$（1-λ），
则$\overrightarrow{h}$=（λ，0，$\sqrt{3}$（1-λ）），
平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow{t}$=（1，0，0），
则二面角D-AB-E的大小为$\frac{π}{3}$，
则|cos＜$\overrightarrow{h}$，$\overrightarrow{t}$＞|=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+3（λ-1）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
得λ=$\frac{1}{2}$，即$\frac{DE}{EC}$=1．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法解二面角是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．