Question

16．在斜三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C，A′在底面ABC上的射影为AB的中点D，E为线段BC的中点．
（1）证明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；
（2）求二面角D-B′C-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A′DE⊥平面BCC′B′．
（2）求出平面DB′C的法向量和平面BCC′B′的法向量，利用向量法能求出二面角D-B′C-B的正弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DA′为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=A′A=A′C=2，
则A′（0，0，$\sqrt{2}$），D（0，0，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），B′（0，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{CB}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{C{B}^{'}}$=（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设平面A′DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}^{'}}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}^{'}}=-\sqrt{2}a+2\sqrt{2}b+\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∴平面A′DE⊥平面BCC′B′．
解：（2）$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{2}，0，0$），$\overrightarrow{D{B}^{'}}$=（0，2，$\sqrt{2}$），
设平面DB′C的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{2}{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{D{B}^{'}}=2{y}_{1}+\sqrt{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
设二面角D-B′C-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$，∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1+\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{3}$．
∴二面角D-B′C-B的正弦值为$\frac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．