Question

7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+3）=2f（x），当x∈[-1，2）时，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
若存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，则实数t的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 运用二次函数的最值求法和指数函数的单调性，讨论分段函数的两段的最小值，再由f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由图象左右平移可知，函数的最值不变，可得x∈[-4，-1），f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，由题意可得t²-3t≥-2，解不等式即可得到所求t的范围．

解答 解：当x∈[-1，2）时，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
当x∈[-1，0）时，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，仅有x=-$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{1}{4}$；
当x∈[0，2）时，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^|x-1|∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
可得x=1时，取得最小值-1；
则当x∈[-1，2）时，f（x）的最小值为-1．
当x∈[-4，-1），x+3∈[-1，2），
由f（x+3）=2f（x），可得
f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由图象左右平移可知，函数的最值不变，
可得此时f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，
由存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，
可得t²-3t≥4f（x）的最小值，即为t²-3t≥-2，
解得t≥2或t≤1，
故答案为：（-∞，1]∪[2，+∞）．

点评 本题考查不等式的存在性问题的解法，注意运用转化思想，考查分段函数的最值的求法，注意运用二次函数和指数函数的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．